統計学I期末試験問題

第1問

(x,y)二つ一組のデータを以下の表のように9組観測した。

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9
y	1	2	3	7	8	9	5	6	4

問1　x,yそれぞれの平均、分散、及びxとyの共分散、相関係数を求めなさい。
問2　(x,y)の散布図と回帰直線を描きなさい。回帰直線は式も求めなさい。

第2問

幾何分布G(p)の確率関数はp(x)=p(1-p)^x-1 です。この分布の期待値E[X]を求めなさい。

第3問

確率変数X₁,X₂,…,X_nは独立で、その確率分布はどれも同じであり、 i=1,2,…,nに対しE[X_i]=μ、V(X_i)=σ²であるとする。
問1　定数a,bに対し、aX_i+bの期待値と分散を、μとσ²を用いて表しなさい。そしてaX_i+bの期待値が0、分散が1になるようなa,bの値を求めなさい。
問2　T=X₁+…+X_nの期待値、分散を求め、aT+bの期待値が0、分散が1になるような定数a,bの値を求めなさい。
問3　T=(X₁+…+X_n)/nの期待値、分散を求め、aT+bの期待値が0、分散が1になるような定数a,bの値を求めなさい。

第4問

表が出る確率が0.5であるコインを100回投げたときに、表が出た回数をXとする。
問1　Xの確率分布はどのような正規分布で近似出来ますか?
問2　Xが55以上になる確率を正規分布による近似を用いて求めなさい。

数理統計学IIレポート作成のヒント

解法その1は計量アナリシスの講義と重複するので、ここでは解法その2の説明をします。
各々の図はクリックするともっと大きく見えます。

まずデータをエクセルに貼り付けて、貼り付けた部分を選択して、挿入のグラフを選びます。

散布図を選んで完了を押します。

表示されたグラフを選択したら、メニューバーにグラフの項目が表示されます。その中の近似曲線の追加を選びます。

一次式ならば線形近似、二次式以上なら多項式近似を選んで次数を設定します。ここでOKは押さずに、オプションをクリックしてください。

グラフに数式を表示するにチェックをつけてからOKを押します。

多項式回帰

実験の結果(x,y)に関して、次の20個のデータが観測されました。

x y 0.00 0.854 0.05 0.786 0.10 0.706 0.15 0.763 0.20 0.772 0.25 0.693 0.30 0.805 0.35 0.739 0.40 0.760 0.45 0.764 0.50 0.810 0.55 0.791 0.60 0.798 0.65 0.841 0.70 0.882 0.75 0.879 0.80 0.863 0.85 0.934 0.90 0.971 0.95 0.985

出典:小西貞則、北川源四郎著「情報量規準」共立出版株式会社

このデータに多項式モデル

y=β₀+β₁x+β₂x²+…β_px^p+ε, ε～N(0,σ²)

を当てはめてみます。0次多項式(定数), 1次多項式(直線)から6次多項式を当てはめて、それぞれのAICを計算し、何次多項式モデルが最も良いか選択してください。

解法その1
計量アナリシスの講義で、Rを使った多変量回帰を習った人は、x,x²,…,x⁶を変量として扱うことで、回帰式の係数や、残差平方和を求めることが出来ます。

解法その2
Excelのグラフ機能を使うことでも、多項式回帰の係数を求めることが出来ますので、ここから残差平方和を求めることでAICを計算できます。
まず、上の表をコピーして、エクセルに貼り付けます。貼り付けた部分を選択して、「挿入」「グラフ」「散布図」を選びます。
次にグラフを選択して「グラフ」「近似曲線の追加」を選びます。「線形近似」あるいは「多項式近似」を選んで、多項式近似を選んだ場合は「次数」も設定してください。0次多項式(定数)はこのような散布図を使わなくても式変形で計算できます。
「線形近似」あるいは「多項式近似」をクリックしたら、「OK」を押す前に「オプション」を選んで「グラフに数式を表示する」を選んでから「OK」を押すと、回帰式が表示されます。

ゲノム解析における統計解析法

Excelを使った多項式回帰の講義を7月12日にする予定でしたが、若干変更して、 7月12日は4限の代数学IIを3限に変更して頂いたので、4限の特別講演会を聴講してください。
数理統計学IIの最後の講義は7月19日3限です。

特別講演会のお知らせ

日時　平成１９年７月１２日（木曜日）
午後２時２０分から３時５０分
場所　環境理工学部棟１０５教室
演題　「ゲノム解析における統計解析法」
講師　山西芳裕（京都大学化学研究所助教）
対象　環境数理学科学部生及び大学院生

ゲノム解析において、統計学は重要な役割を果たしている。近年、網羅的に得られるようになったゲノム情報を使って、遺伝子やタンパク質間の相互作用ネットワークを予測するための統計解析法を紹介する。
山西芳裕氏は環境数理学科の一期生です。

モデル選択の実例

以下のように日本の20都市に対して、１月の日最低気温の月平均値、緯度、経度、標高のデータがあります。

都市番号 　都市　 気温y 緯度x1 経度x2 標高x3 1 稚内 -8.0 45.42 141.68 2.8 2 旭川 -13.6 43.77 142.37 111.9 3 札幌 -9.5 43.05 141.33 17.2 4 青森 -5.4 40.82 140.78 3.0 5 盛岡 -6.7 39.70 141.17 155.2 6 仙台 -3.2 38.27 140.90 38.9 7 金沢 -0.1 36.55 136.65 26.1 8 長野 -5.5 36.67 138.20 418.2 9 高山 -7.6 36.15 137.25 560.2 10 軽井沢 -10.0 36.33 138.55 999.1 11 名古屋 -0.9 35.17 136.97 51.1 12 飯田 -4.7 35.52 137.83 481.8 13 東京 -0.4 35.68 139.77 5.3 14 鳥取 0.5 35.48 134.23 7.1 15 京都 -0.6 35.02 135.73 41.4 16 広島 0.2 34.37 132.43 29.3 17 福岡 1.5 33.58 130.38 2.5 18 鹿児島 2.0 31.57 130.55 4.3 19 高知 0.1 33.55 133.53 1.9 20 那覇 13.5 26.23 127.68 34.9

出典:坂元慶行、石黒真木夫、北川源四郎著「情報量統計学」共立出版株式会社

このデータを元に、緯度、経度、標高から気温を推定するための最適なモデルを探しましょう。 また福島の緯度は37.75、経度は140.90、標高は67.4、神戸の緯度は34.68、経度は135.18、標高は59.3です。 選択したモデルを使って福島、神戸の気温を推定しましょう。

用いる変数とその時のAICの値を整理すると次の表になります。x₁とx₃を用いるモデル3が一番AICが小さいです。

モデル	変数	変量数	σ2の推定値	AIC	定数	a1	a2	a3	福島の推定値	神戸の推定値
1	x1,x2,x3	3	2.46	84.8	38.3	-1.17	0.02	-0.0098	-3.71	-0.15
2	x1,x2	2	7.74	105.7	94.3	-0.69	-0.52	0	-5.02	0.08
3	x1,x3	2	2.46	82.8	40.7	-1.15	0	-0.0098	-3.37	0.24
4	x2,x3	2	7.01	103.7	147.1	0	-1.09	-0.0064	-6.91	-0.63
5	x1	1	8.73	106.1	39	-1.14	0	0	-4.04	-0.54
6	x2	1	9.60	108.0	155.8	0	-1.16	0	-7.64	-1.01
7	x3	1	26.68	128.4	-1.5	0	0	-0.0095	-2.14	-2.06
8	定数	0	32.66	130.5	-2.9	0	0	0	-2.90	-2.90

実際の福島の気温は-3.1、神戸は1.2ですので、モデル3での予測が一番良いです。