多項式回帰

実験の結果(x,y)に関して、次の20個のデータが観測されました。

x y 0.00 0.854 0.05 0.786 0.10 0.706 0.15 0.763 0.20 0.772 0.25 0.693 0.30 0.805 0.35 0.739 0.40 0.760 0.45 0.764 0.50 0.810 0.55 0.791 0.60 0.798 0.65 0.841 0.70 0.882 0.75 0.879 0.80 0.863 0.85 0.934 0.90 0.971 0.95 0.985

出典:小西貞則、北川源四郎著「情報量規準」共立出版株式会社

このデータに多項式モデル

y=β₀+β₁x+β₂x²+…β_px^p+ε, ε～N(0,σ²)

を当てはめてみます。0次多項式(定数), 1次多項式(直線)から6次多項式を当てはめて、それぞれのAICを計算し、何次多項式モデルが最も良いか選択してください。

解法その1
計量アナリシスの講義で、Rを使った多変量回帰を習った人は、x,x²,…,x⁶を変量として扱うことで、回帰式の係数や、残差平方和を求めることが出来ます。

解法その2
Excelのグラフ機能を使うことでも、多項式回帰の係数を求めることが出来ますので、ここから残差平方和を求めることでAICを計算できます。
まず、上の表をコピーして、エクセルに貼り付けます。貼り付けた部分を選択して、「挿入」「グラフ」「散布図」を選びます。
次にグラフを選択して「グラフ」「近似曲線の追加」を選びます。「線形近似」あるいは「多項式近似」を選んで、多項式近似を選んだ場合は「次数」も設定してください。0次多項式(定数)はこのような散布図を使わなくても式変形で計算できます。
「線形近似」あるいは「多項式近似」をクリックしたら、「OK」を押す前に「オプション」を選んで「グラフに数式を表示する」を選んでから「OK」を押すと、回帰式が表示されます。