統計学I期末試験問題

第1問

(x,y)二つ一組のデータを以下の表のように9組観測した。

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9
y	1	2	3	7	8	9	5	6	4

問1　x,yそれぞれの平均、分散、及びxとyの共分散、相関係数を求めなさい。
問2　(x,y)の散布図と回帰直線を描きなさい。回帰直線は式も求めなさい。

第2問

幾何分布G(p)の確率関数はp(x)=p(1-p)^x-1 です。この分布の期待値E[X]を求めなさい。

第3問

確率変数X₁,X₂,…,X_nは独立で、その確率分布はどれも同じであり、 i=1,2,…,nに対しE[X_i]=μ、V(X_i)=σ²であるとする。
問1　定数a,bに対し、aX_i+bの期待値と分散を、μとσ²を用いて表しなさい。そしてaX_i+bの期待値が0、分散が1になるようなa,bの値を求めなさい。
問2　T=X₁+…+X_nの期待値、分散を求め、aT+bの期待値が0、分散が1になるような定数a,bの値を求めなさい。
問3　T=(X₁+…+X_n)/nの期待値、分散を求め、aT+bの期待値が0、分散が1になるような定数a,bの値を求めなさい。

第4問

表が出る確率が0.5であるコインを100回投げたときに、表が出た回数をXとする。
問1　Xの確率分布はどのような正規分布で近似出来ますか?
問2　Xが55以上になる確率を正規分布による近似を用いて求めなさい。