モデル選択の実例

以下のように日本の20都市に対して、１月の日最低気温の月平均値、緯度、経度、標高のデータがあります。

都市番号 　都市　 気温y 緯度x1 経度x2 標高x3 1 稚内 -8.0 45.42 141.68 2.8 2 旭川 -13.6 43.77 142.37 111.9 3 札幌 -9.5 43.05 141.33 17.2 4 青森 -5.4 40.82 140.78 3.0 5 盛岡 -6.7 39.70 141.17 155.2 6 仙台 -3.2 38.27 140.90 38.9 7 金沢 -0.1 36.55 136.65 26.1 8 長野 -5.5 36.67 138.20 418.2 9 高山 -7.6 36.15 137.25 560.2 10 軽井沢 -10.0 36.33 138.55 999.1 11 名古屋 -0.9 35.17 136.97 51.1 12 飯田 -4.7 35.52 137.83 481.8 13 東京 -0.4 35.68 139.77 5.3 14 鳥取 0.5 35.48 134.23 7.1 15 京都 -0.6 35.02 135.73 41.4 16 広島 0.2 34.37 132.43 29.3 17 福岡 1.5 33.58 130.38 2.5 18 鹿児島 2.0 31.57 130.55 4.3 19 高知 0.1 33.55 133.53 1.9 20 那覇 13.5 26.23 127.68 34.9

出典:坂元慶行、石黒真木夫、北川源四郎著「情報量統計学」共立出版株式会社

このデータを元に、緯度、経度、標高から気温を推定するための最適なモデルを探しましょう。 また福島の緯度は37.75、経度は140.90、標高は67.4、神戸の緯度は34.68、経度は135.18、標高は59.3です。 選択したモデルを使って福島、神戸の気温を推定しましょう。

用いる変数とその時のAICの値を整理すると次の表になります。x₁とx₃を用いるモデル3が一番AICが小さいです。

モデル	変数	変量数	σ2の推定値	AIC	定数	a1	a2	a3	福島の推定値	神戸の推定値
1	x1,x2,x3	3	2.46	84.8	38.3	-1.17	0.02	-0.0098	-3.71	-0.15
2	x1,x2	2	7.74	105.7	94.3	-0.69	-0.52	0	-5.02	0.08
3	x1,x3	2	2.46	82.8	40.7	-1.15	0	-0.0098	-3.37	0.24
4	x2,x3	2	7.01	103.7	147.1	0	-1.09	-0.0064	-6.91	-0.63
5	x1	1	8.73	106.1	39	-1.14	0	0	-4.04	-0.54
6	x2	1	9.60	108.0	155.8	0	-1.16	0	-7.64	-1.01
7	x3	1	26.68	128.4	-1.5	0	0	-0.0095	-2.14	-2.06
8	定数	0	32.66	130.5	-2.9	0	0	0	-2.90	-2.90

実際の福島の気温は-3.1、神戸は1.2ですので、モデル3での予測が一番良いです。