自己回帰モデル

レポートの解答例

Sub renshu2()
i = 2
Do While Cells(i, 1) <> ""
　i = i + 1
Loop
last = i - 1

For i = 2 To last - 1
　Cells(i, 7) = Log(Cells(i, 5)) - Log(Cells(i + 1, 5))
Next i

wa = 0
For i = 2 To last - 1
　wa = wa + Cells(i, 7)
Next i
heikin = wa / (last - 2)
Cells(3, 9) = heikin '平均

wa = 0
For i = 2 To last - 1
　wa = wa + (Cells(i, 7) - heikin) ^ 2
Next i
hensa = Sqr(wa / (last - 2))
Cells(4, 9) = hensa '標準偏差

End Sub

回帰の復習

2変量(X,Y)の観測データ(x₁,y₁),(x₂,y₂),...,(x_n,y_n)に対して、回帰式
Y=aX+b+ε
を考えた時、二乗和
Σ_i=1ⁿ　{y_i－(ax_i+b)}²
を最小にするaとbを求めたいと思います。まずxとyそれぞれの平均
μ_X＝1/n Σ_i=1ⁿ x_i
μ_Y＝1/n Σ_i=1ⁿ y_i
を求めておくと
a=(XとYの共分散)/(Xの分散)
　　1/n Σ_i=1ⁿ (x_i－μ_X)(y_i－μ_Y)
＝--------------------------------
　　1/n Σ_i=1ⁿ (x_i－μ_X)²
および
b=μ_Y－aμ_X
で求められます。
またXがどれくらいYの予測に役立っているかを測るために、まずXを用いずにYを予測することを考えて
Σ_i=1ⁿ (y_i－c)²
を最小にするcを求めます。するとc=μ_Yになります。これらのa,b,cを用いて
Σ_i=1ⁿ (y_i－c)² と比べて Σ_i=1ⁿ {y_i－(ax_i+b)}² が凄く小さくなっていたらXはYの予測に役立っていて、逆にあまり小さくなっていなかったらXはYの予測に役立っていない、ということになります。数値的に評価するためにどれくらい小さくなったかという比
　　　Σ_i=1ⁿ (y_i－c)²－Σ_i=1ⁿ {y_i－(ax_i+b)}²
R²＝------------------------------------------
　　　　　　　　Σ_i=1ⁿ (y_i－c)²
を計算して、これを決定係数と呼びます。

自己回帰

2変量の回帰ではx₁を用いてy₁を予測し、x₂を用いてy₂を予測し,…,x_nを用いてy_nを予測するのですが、時系列の場合はx₁を用いてx₂を予測し、x₂を用いてx₃を予測し,…,x_n-1を用いてx_nを予測します。
つまりY=aX+b+εの代わりにX_i=aX_i-1+b+εを考え、 2変量回帰の時のn組のデータ(x₁,y₁),(x₂,y₂),...,(x_n,y_n)の代わりにn-1組のデータ(x₁,x₂),(x₂,x₃),...,(x_n-1,x_n)を用います。
計算方法は大体2変量回帰の場合と同じです。但し2変量の時の全く同じように計算するならμ_Xは1番目からn-1番目までのn-1個の平均で
μ_X＝1/(n-1) Σ_i=1^n-1 x_i,
μ_Yは2番目からn番目までのn-1個の平均で
μ_Y＝1/(n-1) Σ_i=2ⁿ x_i
と計算する筈ですが、自己回帰の場合はμ_Xに相当する部分もμ_Yに相当する部分も共通の
μ＝1/n Σ_i=1ⁿ x_i
を使います。分散もXに相当する部分はx_n-1までっぽいですが
1/n Σ_i=1ⁿ (x_i－μ)² で計算します。
また共分散はn-1組に対して計算しているのでn-1個足してn-1で割る、つまり
1/(n-1) Σ_i=2ⁿ (x_i－μ)(x_i-1－μ)
と計算するべきに思えますが、nで割って
1/n Σ_i=2ⁿ (x_i－μ)(x_i-1－μ)
で計算します。
決定係数も同様に、一つ前のデータを予測に使わない時の誤差Σ_i=2ⁿ (x_i－c)²と比べて、一つ前のデータを予測に使った時の誤差 Σ_i=2ⁿ {x_i－(ax_i-1+b)}² がどれくらい小さくなったかを比較します。

練習

TOPIXのデータに関して、この方法で予測してください。さらに決定係数を求めて、この予測がどれくらい役立つか調べてください。