統計学入門期末試験解答

第1問

Yの期待値はaμ+b、分散はa²σ²なので、これらをそれぞれ0,1とおくと、a=1/σ (±1/σでも可)、b=-aμ=-μ/σ。

第2問

問1　平均は8つの値を足して8で割って8.70875、分散は8つの数字から平均8.70875を引いてから二乗して、それを8つ足して8で割って0.000335937。
問2　先ほどの分散の計算の8で割った部分を8-1=7で割って0.000383929。
問3　8つのデータ各々の分散が0.000383929と推定されたので、標本平均の分散はそれを8で割って0.0000479911。標本平均の標準偏差は分散の平方根で0.006927559。
信頼係数が99%なのでαは1%。自由度7のt分布の上側1/2%点はt分布表より3.499なので、8.70875±3.499×0.006927559=8.70875±0.024239528。
よって[8.68, 8.73]。途中の計算は精度低下を避けるために桁を長く書いていますが、元のデータの精度が3桁なので答えは3桁で構いません。

第3問

問1　誰とも一致しない確率を考えると、各々の人がF氏の書いていない6つの数字の中の一つを書いていることになるので6/8の3乗で27/64。よって少なくとも一人と一致する確率は1-27/64=37/64。
問2　「F氏には当てる能力がない」という仮説が正しいということは成功確率が37/64であり、10回中成功した回数の確率分布は二項分布B(10,37/64)である。だから10回中10回とも成功する確率は(37/64)¹⁰=0.004%で、10回中9回成功する確率は₁₀C₉(37/64)⁹(1-37/64)=3.0%となるので、9回以上成功する確率は3.4%となりこれは有意水準3%を超えている。従って「F氏には当てる能力がない」という帰無仮説は棄却されない。