データ解析の実例

今年の講義は今日までです。連立一次方程式の課題は

1. まず、12月6日の方法で未知数が3つの方程式を解くプログラムを作る。
2. 12月13日の方法で，繰り返し実行している部分をFor文でまとめる。
3. 12月20日の方法でさらにFor文でまとめる。
4. 12月20日の方法でまとめてしまうと，For文の繰り返しをひとつ増やすだけで，未知数が4つの連立一次方程式を解くプログラムになります。

この順序で，1月24日の期末試験が始まるまでに出来た所まで提出してください。4つ全部提出する必要は無く，一番最後にできたものを提出してください。

未知数の数が4つの連立一次方程式も解ける様になった人は次の課題に挑戦してください。

以下のように日本の20都市に対して、１月の日最低気温の月平均値、緯度、経度、標高のデータがあります。

都市番号	都市	気温y	緯度x1	経度x2	標高x3
1	稚内	-8.0	45.42	141.68	2.8
2	旭川	-13.6	43.77	142.37	111.9
3	札幌	-9.5	43.05	141.33	17.2
4	青森	-5.4	40.82	140.78	3.0
5	盛岡	-6.7	39.70	141.17	155.2
6	仙台	-3.2	38.27	140.90	38.9
7	金沢	-0.1	36.55	136.65	26.1
8	長野	-5.5	36.67	138.20	418.2
9	高山	-7.6	36.15	137.25	560.2
10	軽井沢	-10.0	36.33	138.55	999.1
11	名古屋	-0.9	35.17	136.97	51.1
12	飯田	-4.7	35.52	137.83	481.8
13	東京	-0.4	35.68	139.77	5.3
14	鳥取	0.5	35.48	134.23	7.1
15	京都	-0.6	35.02	135.73	41.4
16	広島	0.2	34.37	132.43	29.3
17	福岡	1.5	33.58	130.38	2.5
18	鹿児島	2.0	31.57	130.55	4.3
19	高知	0.1	33.55	133.53	1.9
20	那覇	13.5	26.23	127.68	34.9

出典:坂元慶行、石黒真木夫、北川源四郎著「情報量統計学」共立出版株式会社

このデータを元に、緯度、経度、標高と気温の関係を数式で表したいと思います。 また神戸の緯度は34.68、経度は135.18、標高は59.30です。神戸の気温を推定しましょう。

気温をy, 緯度をx₁、経度をx₂、標高をx₃とおきます。 緯度、経度、標高と気温の関係は色々考えることが出来ますが、ここでは簡単なものとして

y=β₀+β₁x₁+β₂x₂+β₃x₃+誤差

という形を考えます。
β₀,β₁,β₂,β₃はどうやって決めましょうか。
本当の気温yと、緯度、経度、標高から推定した気温β₀+β₁x₁+β₂x₂+β₃x₃ との差が小さくなるように決めましょう。

データの
1番目の都市の気温をy₁、緯度をx₁₁、経度をx₁₂、標高をx₁₃
2番目の都市の気温をy₂、緯度をx₂₁、経度をx₂₂、標高をx₂₃
・・・・・
20番目の都市の気温をy₂₀、緯度をx_20,1、経度をx_20,2、標高をx_20,3
と書きます。すると、本当の気温と推定した気温の差は

y₁-(β₀+β₁x₁₁+β₂x₁₂+β₃x₁₃)
y₂-(β₀+β₁x₂₁+β₂x₂₂+β₃x₂₃)
・・・・・
y₂₀-(β₀+β₁x_20,1+β₂x_20,2+β₃x_20,3)

です。これらはプラスになったりマイナスになったりするので、そのまま足すと打ち消しますから、二乗して足して

∑_i=1²⁰　{y_i-(β₀+β₁x_i1+β₂x_i2+β₃x_i3)}²

が最小になるようなβ₀,β₁,β₂,β₃を求めることにします。
一見、求めるのは難しそうに見えます。でもこれはβ₀,β₁,β₂,β₃に関する二次式で、しかもは二乗して足していますから0以上です。だからグラフは下に凸になっていて、どこかで最小値を取ります。

公式の導出は省略しますが、実は最小にするβ₀,β₁,β₂,β₃は次の連立一次方程式を解くことで求めることが出来ます。

まず未知数β₀,β₁,β₂,β₃を縦に並べた ベクトル

β0

β1

β2

β3

をΒとおき、

ベクトル

y1

y2

・

・

y20

をYとおき、

最後に行列

1	x11	x12	x13
1	x21	x22	x23
・	・	・	・
・	・	・	・
1	x20,1	x20,2	x20,3

をXとおきます。
1が縦に並んでいるのはβ₀の係数だからです。この時、最小にするβ₀,β₁,β₂,β₃は 連立一次方程式

(X^t・X)Β=(X^t・Y)

を解くことで得られます。Xの右上のtは転置を表します。行列X、ベクトルYの配置は上のデータの表と同じですからコピーすれば入力しやすいです。

この連立一次方程式を解いて、β₀,β₁,β₂,β₃を求めてください。今日で講義は最後ですので、正解を示しておきます。
β₀=38.3
β₁=-1.17
β₂=0.02
β₃=-0.0098
そして神戸の気温は、38.3-1.17×34.68+0.02×135.18-0.0098×59.3=-0.15です。実際の気温は1.2でした。