環境データ解析の例

以下のように日本の20都市に対して、１月の日最低気温の月平均値、緯度、経度、標高のデータがあります。

都市番号	都市	気温y	緯度x1	経度x2	標高x3
1	稚内	-8.0	45.42	141.68	2.8
2	旭川	-13.6	43.77	142.37	111.9
3	札幌	-9.5	43.05	141.33	17.2
4	青森	-5.4	40.82	140.78	3.0
5	盛岡	-6.7	39.70	141.17	155.2
6	仙台	-3.2	38.27	140.90	38.9
7	金沢	-0.1	36.55	136.65	26.1
8	長野	-5.5	36.67	138.20	418.2
9	高山	-7.6	36.15	137.25	560.2
10	軽井沢	-10.0	36.33	138.55	999.1
11	名古屋	-0.9	35.17	136.97	51.1
12	飯田	-4.7	35.52	137.83	481.8
13	東京	-0.4	35.68	139.77	5.3
14	鳥取	0.5	35.48	134.23	7.1
15	京都	-0.6	35.02	135.73	41.4
16	広島	0.2	34.37	132.43	29.3
17	福岡	1.5	33.58	130.38	2.5
18	鹿児島	2.0	31.57	130.55	4.3
19	高知	0.1	33.55	133.53	1.9
20	那覇	13.5	26.23	127.68	34.9

出典:坂元慶行、石黒真木夫、北川源四郎著「情報量統計学」共立出版株式会社

このデータを元に、緯度、経度、標高と気温の関係を数式で表したいと思います。 また神戸の緯度は34.68、経度は135.18、標高は59.30です。神戸の気温を推定しましょう。

気温をy, 緯度をx₁、経度をx₂、標高をx₃とおきます。 緯度、経度、標高と気温の関係は色々考えることが出来ますが、今回は緯度、経度、標高の3変量を使う最も簡単なものとして

y=β₀+β₁x₁+β₂x₂+β₃x₃+誤差

という形を考えます。
β₀,β₁,β₂,β₃はどうやって決めましょうか。
本当の気温yと、緯度、経度、標高から推定した気温β₀+β₁x₁+β₂x₂+β₃x₃ との差が小さくなるように決めましょう。

データの
1番目の都市の気温をy₁、緯度をx₁₁、経度をx₁₂、標高をx₁₃
2番目の都市の気温をy₂、緯度をx₂₁、経度をx₂₂、標高をx₂₃
・・・・・
20番目の都市の気温をy₂₀、緯度をx_20,1、経度をx_20,2、標高をx_20,3
と書きます。すると、本当の気温と推定した気温の差は

y₁-(β₀+β₁x₁₁+β₂x₁₂+β₃x₁₃)
y₂-(β₀+β₁x₂₁+β₂x₂₂+β₃x₂₃)
・・・・・
y₂₀-(β₀+β₁x_20,1+β₂x_20,2+β₃x_20,3)

です。これらはプラスになったりマイナスになったりするので、そのまま足すと打ち消しますから、二乗して足して

∑_i=1²⁰　{y_i-(β₀+β₁x_i1+β₂x_i2+β₃x_i3)}²

が最小になるようなβ₀,β₁,β₂,β₃を求めることにします。
一見、求めるのは難しそうに見えます。でもこれはβ₀,β₁,β₂,β₃に関する二次式で、しかもは二乗して足していますから0以上です。だからグラフは下に凸になっていて、どこかで最小値を取ります。

公式の導出は省略しますが、実は最小にするβ₀,β₁,β₂,β₃は次の連立一次方程式を解くことで求めることが出来ます。

まず未知数β₀,β₁,β₂,β₃を縦に並べた ベクトル

β0

β1

β2

β3

をΒとおき、

ベクトル

y1

y2

・

・

y20

をYとおき、

最後に行列

1	x11	x12	x13
1	x21	x22	x23
・	・	・	・
・	・	・	・
1	x20,1	x20,2	x20,3

をXとおきます。
1が縦に並んでいるのはβ₀の係数だからです。この時、最小にするβ₀,β₁,β₂,β₃は 連立一次方程式

(X^t・X)Β=(X^t・Y)

を解くことで得られます。Xの右上のtは転置を表します。行列X、ベクトルYの配置は上のデータの表と同じですからコピーすれば入力しやすいです。

この連立一次方程式を解いて、β₀,β₁,β₂,β₃を求めてください。正解は、 β₀=38.3、 β₁=-1.17、 β₂=0.02、 β₃=-0.0098、 そして神戸の気温は、38.3-1.17×34.68+0.02×135.18-0.0098×59.3=-0.15です。実際の気温は1.2でした。