統計学I期末試験問題

第1問

確率変数Xの期待値をμ、分散をσ²とする。Y=aX+bの期待値と分散をa,b,μ,σ²を用いて表しなさい。(20点×2)

第2問

Xが標準正規分布に従うとき、P(0≦X≦x)=0.25となるxを求めたい。ところが標準正規分布表を見るとP(0≦X≦0.67)=0.2486の次はP(0≦X≦0.68)=0.2517である。そこでこの間を直線で近似することにした。
(x, y)=(0.67, 0.2486)と(x, y)=(0.68, 0.2517)の2点を通る直線を考え、この直線のy座標が0.25であるような点のx座標を、小数点以下3桁まで求めなさい。(20点)
これがP(0≦X≦x)=0.25を満たすxの近似値である。

第3問

F氏は、投げたときに表が出る確率がpであるコインを作った。B君はpを推測しようとしている。コインを作ったF氏はp=0.1だと知っているがB君には教えていない。
問1　100回投げて、表が出た回数を100で割った値をXとする。Xの期待値と分散を求めなさい。(5点×2)
問2　Xの確率分布を正規分布で近似したい。どのような分布で近似できるか答えなさい。(10点)
問3　p=0.1なのでXの値も0.1付近になると予想されるが、丁度0.1になるとは限らず確率的にばらつくと考えられる。どの程度ばらつくか知るために、P(0.1-a≦X≦0.1+a)=0.5を満たすaと、P(0.1-b≦X≦0.1+b)=0.95を満たすbをそれぞれ求めなさい。(5点×2)
問4　100回ではばらつきが大きいのでB君は10000回投げることにした。10000回投げて表が出た回数を10000で割った値をYとする。P(0.1-c≦Y≦0.1+c)=0.5を満たすcと、P(0.1-d≦Y≦0.1+d)=0.95を満たすdをそれぞれ求めなさい。(5点×2)