統計学入門期末試験解答

第1問

u₁,…,u_nの平均u
=1/n Σ_i=1ⁿu_i
=1/n Σ_i=1ⁿ(axSUB>i+b)
=a/n Σ_i=1ⁿxSUB>i+1/n Σ_i=1ⁿb
=ax+b

u₁,…,u_nの分散S_u²
=1/n Σ_i=1ⁿ(u_i-u)²
=1/n Σ_i=1ⁿ((ax_i+b)-(ax+b))²
=1/n Σ_i=1ⁿ(ax_i+b-ax-b)²
=1/n Σ_i=1ⁿ(a(x_i-x))²
=a²/n Σ_i=1ⁿ(x_i-x)²
=a²S_x²

v₁,…,v_nの平均v
=1/n Σ_i=1ⁿv_i
=1/n Σ_i=1ⁿ(cySUB>i+d)
=c/n Σ_i=1ⁿySUB>i+1/n Σ_i=1ⁿd
=cy+d

v₁,…,v_nの分散S_v²
=1/n Σ_i=1ⁿ(v_i-v)²
=1/n Σ_i=1ⁿ((cy_i+d)-(cy+d))²
=1/n Σ_i=1ⁿ(cy_i+d-cy-d)²
=1/n Σ_i=1ⁿ(c(y_i-y))²
=c²/n Σ_i=1ⁿ(y_i-y)²
=c²S_y²

u₁,…,u_nとv₁,…,v_nの共分散S_uv
=1/n Σ_i=1ⁿ(u_i-u)(v_i-v)
=1/n Σ_i=1ⁿ((ax_i+b)-(ax+b))((cy_i+d)-(cy+d))
=1/n Σ_i=1ⁿ(ax_i+b-ax-b)(cy_i+d-cy-d)
=1/n Σ_i=1ⁿ(a(x_i-x))(c(y_i-y))>
=ac/n Σ_i=1ⁿ(x_i-x)(y_i-y)
=a²S_xy

第2問

問1　表よりP(X≦54)=0.8159なので、P(X≧55)=1-P(X≦54)=1-0.8159=0.1841
問2　P(X≧59)=1-P(X≦58)=1-0.9557=0.0443なのでa=59は条件P(X≧a)≦0.05を満たし
しかもP(X≧58)=1-P(X≦57)=1-0.9334=0.0666なのでa=59が条件を満たす最小の整数。
問3　二項分布B(100, 0.5)の確率関数は左右対称であり、しかも中央X=50で一番高く、そこから左右に遠ざかると単調に小さくなるので、c-bが最小になるのはbとcがX=50に関して左右対称の時である。従って片側の確率が2.5%を超えないことを手がかりに分布関数の表から、
P(40≦X≦60)=0.9824-0.0176=0.9648
であるのでb=40, c=60は条件P(b≦X≦c)≧0.95を満たす。
次に片側だけを1狭めて
P(41≦X≦60)=0.9824-0.0284=0.954
P(40≦X≦59)=0.9716-0.0176=0.954
も条件P(b≦X≦c)≧0.95を満たす。しかし両側を1狭めた
P(41≦X≦59)=0.9716-0.0284=0.9432
は条件P(b≦X≦c)≧0.95を満たさない。従って(b,c)=(41,60),及び(40,59)。

第3問

問1　(900/1000)¹⁰=(9/10)¹⁰=3486784401/10000000000。
最後の計算は単に電卓で出来るので、計算しなくても良い。
問2　解答例
・問1で計算したように、「売り場Aで販売されたくじも、売り場Bで販売されたくじも当たる確率は同じ」であっても過去10年間売り場Aから当選くじが販売される確率は34%もあるので、決して売り場Aで販売されたくじの方が当たりやすいとは言えないから交通費の無駄。
・決して売り場Aで販売されたくじの方が当たりやすいとは言えないが、「売り場Aで販売されたくじも、売り場Bで販売されたくじも当たる確率は同じ」だと証明されたわけでもなく、「売り場Aで販売されたくじの方が当たりやすい」ことを示すのに充分な証拠がなかっただけである。もしかすると本当に売り場Aで販売されたくじの方が当たりやすいかもしれないので、売り場Aへ行きたいなら黙って行かせる。
・そもそも宝くじの期待値は販売額より小さい。なぜならその差額が主催者の利益や販売にかかる経費だから。従って売り場に関係なく買わない方が良い。
問1の計算が間違っている場合も、その間違えた答えと理論的に整合する答ならば問2は正解とします。